Hãy tưởng tượng không khí xung quanh bạn. Tại mỗi điểm trong căn phòng, không khí đều có một vận tốc xác định—gồm hướng chuyển động và tốc độ. Đây chính là một trường vectơ. Khác với trường vô hướng, vốn chỉ cung cấp nhiệt độ tại từng điểm, trường vectơ "lấp đầy" không gian bằng các mũi tên mô tả những hiện tượng vật lý động như gió, dòng biển hay lực hấp dẫn vô hình.
Định nghĩa chính thức
Để phân tích các trường này một cách toán học, chúng ta sử dụng các định nghĩa nền tảng sau:
Định nghĩa 1 (Trường vectơ 2D): Cho $D$ là một tập hợp trong $\mathbb{R}^2$. Trường vectơ trên $\mathbb{R}^2$ là một hàm số $\mathbf{F}$ gán cho mỗi điểm $(x, y)$ thuộc $D$ một vectơ hai chiều:
$$\mathbf{F}(x, y) = P(x, y)\mathbf{i} + Q(x, y)\mathbf{j} = \langle P(x, y), Q(x, y) \rangle$$
trong đó $P$ và $Q$ là trường vô hướng (hàm của hai biến số).
Định nghĩa 2 (Trường vectơ 3D): Với một tập con $E$ của $\mathbb{R}^3$, trường được định nghĩa như sau: $$\mathbf{F}(x, y, z) = P(x, y, z)\mathbf{i} + Q(x, y, z)\mathbf{j} + R(x, y, z)\mathbf{k}$$
Định nghĩa 2 (Trường vectơ 3D): Với một tập con $E$ của $\mathbb{R}^3$, trường được định nghĩa như sau: $$\mathbf{F}(x, y, z) = P(x, y, z)\mathbf{i} + Q(x, y, z)\mathbf{j} + R(x, y, z)\mathbf{k}$$
Diễn giải vật lý
- Trường vận tốc: Biểu diễn dòng chảy chất lỏng hoặc mô hình gió. Ví dụ, Hình 1 minh họa mẫu gió tại vịnh San Francisco, trong khi Hình 13 mô phỏng dòng chảy chất lỏng qua ống hội tụ.
- Trường lực:Định luật vạn vật hấp dẫn của Newton định nghĩa một trường mà độ lớn $|\mathbf{F}| = \frac{mMG}{r^2}$. Dạng vectơ: $\mathbf{F}(\mathbf{x}) = -\frac{mMG}{|\mathbf{x}|^3}\mathbf{x}$. Lưu ý: Các nhà vật lý thường dùng $\mathbf{r}$ thay vì $\mathbf{x}$.
- Trường điện: Được định nghĩa là $\mathbf{E}(\mathbf{x}) = \frac{\varepsilon Q}{|\mathbf{x}|^3}\mathbf{x}$, biểu thị lực trên đơn vị điện tích.
Hình học của trường gradient
Nếu $f$ là một hàm vô hướng, gradient của nó $\nabla f$ sẽ tạo ra một loại trường vectơ đặc biệt. Trong không gian 3D, điều này được biểu diễn như sau:
$$\nabla f(x, y, z) = \frac{\partial f}{\partial x}\mathbf{i} + \frac{\partial f}{\partial y}\mathbf{j} + \frac{\partial f}{\partial z}\mathbf{k}$$☸ Nhận thức hình học
Như minh họa ở Hình 15, các vectơ gradient luôn vuông góc với các đường mức (hoặc mặt mức) của hàm số ban đầu $f$ và hướng về phía tăng trưởng nhanh nhất.
Ví dụ 1: Trường quay vòng
Xét $\mathbf{F}(x, y) = -y\mathbf{i} + x\mathbf{j}$. Tại $(1, 0)$, ta có $\langle 0, 1 \rangle$. Tại $(0, 1)$, ta có $\langle -1, 0 \rangle$. Khi vẽ các vectơ này, ta thấy dòng chảy theo hình tròn quanh gốc tọa độ—là nền tảng toán học để mô hình xoáy và chuyển động cơ học.